Übungen zur Unterrichtsplanung

Lehrveranstaltungsleiter: Kröpfl Bernhard

Bearbeitung: Grader Verena

 Grobkonzept

Sinn des Unterrichtsabschnittes

In diesem Abschnitt soll dem Schüler zuerst klargemacht werden, dass man das Maß der Erwartung durch eine Zahl ausdrücken kann. Dann sollen die zwei verschiedenen Zugänge der Mathematik zur Wahrscheinlichkeit bearbeitet werden.

Also einerseits, dass man den Anteil der betrachteten Teilmenge in der Grundmenge kennt und andererseits, dass man im vorhinein nichts über die betrachtete Teilmenge aus der Grundmenge sagen kann. Die Schüler sollen auch verstehen lernen, wie diese zwei Ansätze zusammenhängen.

Varianten der Unterrichtsabschnitte

Vorbemerkung: Hier sind nur jene Unterrichtsabschnitte zu finden, in denen für mich mehrere Varianten vorstellbar waren.

Eine Zahl als Ausdruck für das Maß der Erwartung

Variante 1: Diese Variante ist sehr lehrerzentriert.

• Den Schülern werden Sätze präsentiert, in denen wahrscheinlich vorkommt.
• Als Provokation wird dann ein Beispiel verwendet, mit welchem klar wird dass der umgangssprachliche Begriff „wahrscheinlich“ alleine nicht ausreicht.
• Die Mathematik bietet nun die Möglichkeit das Maß der Erwartung durch eine Zahl auszudrücken.

+ In diesem Ansatz wird hervorgehoben, wie wichtig die Möglichkeit ist, das Maß der Erwartung durch eine Zahl auszudrücken.
- Die Schüler sind nicht eingebunden.
- Wie sicher die präsentierten Sätze sind, wird nicht behandelt.

Variante 2: Schülerzentriert mit Gruppenarbeit;

• Die Schüler sollen Sätze finden, in denen wahrscheinlich vorkommt. Gleichzeitig sollen sie die Frage der Sicherheit ihrer Aussage bewerten.
• In Gruppen werden Begriffe die unterschiedliche Grade von (Un)Sicherheit beschreiben entlang einer „Sicherheitsskala“ angeordnet.
• Vergleich der verschiedenen Ergebnisse und Diskussion darüber.
• Vom Lehrer wird erklärt, dass auch Mathematik eine solche Skala besitzt, die das Maß für die Erwartung fasst.

+ Die Sicherheit der Aussagen werden bewertet.
+ Die unterschiedlichen Auffassungen kommen heraus.
- Es werden nicht alle Begriffe in den Gruppen fallen, die möglich sind.

Variante 3: Ähnlich wie Variante 2; Unterschiede:

• Die Begriffe werden gemeinsam mit den Schülern auf Kärtchen aufgeschrieben und auf der Tafel zwischen sicher und unmöglich aufgeklebt.
• Dabei sollen die Schüler die Begriffe finden und auch die Schüler entscheiden, wo die verschiedenen Kärtchen hingehören. (zwischen sicher und unmöglich)

+ Es werden viel mehr Begriffe genannt, als bei der Gruppenarbeit.
- Die unterschiedlichen Auffassungen, über die Anordnung der Begriffe, kommen nicht klar heraus.

 Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil

Variante 1: Lehrer-Schüler-Gespräch, Gruppenarbeit

• Mit den Schülern wird eine Tabelle erstellt, auf der die Anzahl der Geschwister der Schüler festgestellt wird.
• Die Namen der Schüler werden auf Zettel geschrieben und in eine Urne geworfen.
• In den Gruppen bearbeiten die Schüler dann den Arbeitsauftrag: “Wo gehört das Kärtchen ‚Ich ziehe einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie’ auf der mathematischen Skala hin?“.

+ Die Schüler sind stark miteingebunden.
- Angenommen ich ziehe einen Schüler mit sehr vielen Geschwistern, dann könnte es passieren, dass sich     das Interesse der Schüler auf diesen Schüler konzentriert. Dies ist für diesen sicher sehr peinlich.
- Es gibt auch Schüler mit keinen Geschwistern – 0 kann also eintreten.

Variante 2: Ähnlich wie Variante 1; Unterschiede:

• Auf der Tabelle wird die Anzahl der Kinder in den Familien der Schüler aufnotiert.
• Die Anzahl der Kinder wird auf Zetteln notiert und in die Urne geworfen.

+ Das Problem mit der 0 fällt ebenso weg, genauso wie das Problem der Peinlichkeit für einen Schüler.

Gewählte Methode und ihre Begründung

Eine Zahl als Ausdruck für das Maß der Erwartung

Ich habe mich hier für Variante 2 entschieden. Am Anfang sollen die Schüler also Sätze finden, in denen das Wort „wahrscheinlich“ vorkommt. Diese Sätze sollen sie auch bezüglich ihrer Sicherheit bewerten. Danach werden die Schüler in einer Gruppenarbeit werken. Dabei werden Begriffe der Alltagssprache, die unterschiedliche Grade von (Un)Sicherheit beschreiben, entlang einer Skala von den Gruppen angeordnet. Danach wird verglichen und die verschiedenen Ansichten werden mit den Schülern diskutiert.

Nun wird vom Lehrer erklärt, dass auch die Mathematik eine solche Skala besitzt, die das Maß der Erwartung fasst.

Diese Methode wurde von mir gewählt um den Schülern klar zu machen, dass die Begriffe nur subjektiv anordenbar sind, dies kann durch die Gruppenarbeiten besonders gut klar gemacht werden. Denn nur in verschiedenen Gruppen entstehen auch verschiedene Anordnungen.

 Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil

Für diesen Unterrichtsabschnitt habe ich Variante 2 gewählt. Vor allem wegen der für die Schüler (möglichen), peinlichen Situation kam Variante 1 nicht mehr in Frage.

Die Erarbeitung der Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil wird hier durch Beiträge der Schüler unter Moderation des Lehrers stattfinden. Ich habe mich für diese Form entschieden, da die Schüler miteinzubeziehen meiner Meinung nach ihr Interesse weckt. Die Moderation des Lehrers ist deshalb wichtig, um den relativen Anteil als Maß der Erwartung und dessen Bedeutung zu festigen.

 Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit

Die Erarbeitung der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit erfolgt mittels einer Versuchsserie (werfen von Reißnägeln), welche die Schüler durchführen. Ich denke diese Gruppenarbeit dient am besten dazu den Schülern den Schwerpunkt des Ansatzes der Wahrscheinlichkeit als relativer Häufigkeit, nämlich nichts über die betrachtete Teilmenge zu wissen, nahezubringen. Dieser Schwerpunkt muss natürlich schon im vorhinein bekannt und den Schülern klar sein.

 Der Konnex zwischen beiden

Auch der Konnex zwischen beiden Ansätzen wird mittels einer Versuchsserie durchgeführt. Das Ergebnis aus dem relativen Anteil gilt hierbei als Hypothese, die durch das Experiment dazu nachgeprüft wird. Die Selbsterarbeitung der Schüler gibt hier den Schülern mehr Einsicht in das Grundlegende dieses Aspektes, als wenn der Lehrer dies den Schülern vorsetzen würde.

Was ist nun aber das Grundlegende?
* Es sei G eine endliche Grundgesamtheit mit g Elementen und A jene Teilmenge von G, deren a Elemente eine bestimmte Eigenschaft aufweisen.

oDann heißt:... relativer Anteil von A in G.
oP(E) ... gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E an, dass ein aus G zufällig ausgewähltes Element der Teilmenge A angehört.

* Für die relative Häufigkeit des Ereignisses E in einer Versuchsserie schreibt man h(E), mit, wobei k angibt, wie oft das Ereignis E unter den ersten n Versuchen aufgetreten ist.
 

 Feinplanung

1. Eine Zahl als Ausdruck für das Maß der Erwartung

Am Anfang der Stunde wird die Frage gestellt: “Könnt ihr mir einen Satz sagen, in dem das Wort „wahrscheinlich“ verwendet wird?“. Mögliche Antworten können zum Beispiel sein: „Wahrscheinlich wird es heute frieren.“, „Es ist eher unwahrscheinlich, dass Österreich die WM-Qualifikation schaffen wird.“. Nach jeder Antwort wird dem Schüler die Frage gestellt, wie sicher seine Aussage ist. Als Antworten werden wahrscheinlich kommen: „Ziemlich sicher.“, „Ich bin mir sehr sicher!“.

--> Form: Diese Beispiele von den Schülern mündlich geschehen und nicht aufgemerkt.
--> Begründung: Die Beispiele helfen die Schüler schon am Anfang miteinzubeziehen. Die Frage über die Sicherheit, dient dazu den Schülern klar zu machen, dass wahrscheinlich ein Begriff ist, der (Un)sicherheit beschreibt.

Daran anschließend werden die Schüler in Gruppen – mit etwa 3-4 Personen – geteilt. Die Gruppen erhalten ein Zeichenblatt und ca. 10 Kärtchen. Folgender Arbeitsauftrag wird auf die Tafel geschrieben: Findet andere Begriffe der Alltagssprache, die unterschiedliche Grade von Sicherheit beschreiben. Schreibt jeden Begriff auf ein Kärtchen und ordnet diese Kärtchen am Zeichenblatt entlang einer Skala, die von Sicher bis Unmöglich geht. Sicher soll dabei ganz rechts und Unsicher ganz links stehen.

Wenn ihr euch dann über die Anordnung einig seid, klebt die Kärtchen mit einem Tixostreifen am Zeichenblatt an.

Nebenbemerkung:·Dabei werden die Kärtchen mit Tixostreifen befestigt, falls doch noch Änderungen der Anordnung von den Schülern vorgenommen werden sollten.
Wie ein solches Zeichenblatt aussehen könnte, sehen Sie am Beispielblatt im Anhang.

Nachdem werden alle Zeichenblätter auf der Tafel aufgehängt. Dies wird ziemlich sicher Diskussionen hervorrufen, denn erstens werden die verschiedenen Gruppen unterschiedliche Begriffe verwendet haben und zweitens werden die verschiedenen Gruppen ähnliche Begriffe ganz verschieden angeordnet haben.

Diese Diskussion soll nicht zu lange dauern, es soll denn Schülern nur klar werden, dass die Begriffe zwar anordenbar sind, aber äußerst subjektiv eingeschätzt werden.

Danach wird von mir gesagt: “Die Mathematik verwendet nun nur einen einzigen Begriff, nämlich den Begriff der Wahrscheinlichkeit, um Erwartungen auszudrücken und sie versucht das Maß der Erwartung durch Angabe einer Maßzahl zu quantifizieren. Diese Maßzahl liegt ebenfalls auf einer Skala, welche von Null bis Eins geht. Wobei Null Unmöglich und Eins Sicher bedeutet.“

--> Form: Gruppenarbeit
--> Begründung: Die Schüler sollen die umgangssprachlich verwendeten Begriffe rund um den Begriff „wahrscheinlich“ kritisch betrachten und erkennen, dass sich diese Begriffe in eine gewisse Anordnung, vom kleinsten bis zum größten Begriff, bringen lassen, aber bezüglich ihrer Größe verschiedenst (subjektiv) aufgefasst werden können. Daher ist eine Gruppenarbeit am besten, denn nur in verschiedenen Gruppen können auch verschiedene Anordnungen entstehen.

2. Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil

Es wird nun eine Tabelle mit den Schülern erstellt, die darstellt wie viele Kinder in den Familien der Schüler sind. Gleichzeitig wird jede Zahl auf jeweils einem kleinen Zettel notiert.

Nebenbemerkung: ·
Die Schüler werden darauf aufmerksam gemacht, dass sie dabei nicht mitschreiben sollen.·
Der Raster der Tabelle wurde vorher auf einer Folie vorbereitet.
Das „Strichelmachen“ auf der Folie werde ich einem Schüler (einer Schülerin) überlassen und ich werde die Zettel übernehmen.

Hier eine fertige Beispieltabelle: (die Zettel befinden sich im Anhang)  

1 Kind 2 Kinder 3 Kinder ||||| |||| 9 ||||| | 6 || 2

Dann wird die Endzahl (über die einzelnen Kategorien) auf der Folie aufnotiert. Danach werden die Zettel in eine Urne geworfen. Nun werde ich eine Sicherheitsskala auf die Tafel schreiben (also Sicher rechts und Unmöglich links). Über Sicher wird 1 und über Unsicher 0 stehen.

Der Arbeitsauftrag für die nun folgende Gruppenarbeit wird dann lauten: “Wo gehört das Kärtchen ‚Ich ziehe einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie’ auf der mathematischen Skala hin?“. Dabei werde ich das große, beschriftete Kärtchen auf die Wand kleben.

Die Schüler sollen über diese Frage in ihren Gruppen (siehe oben) diskutieren. Jede Gruppe erhält ein Kärtchen mit der Beschriftung: „Ich ziehe einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie“. Auf diesem Kärtchen sollen die Schüler die Zahl notieren, zu der sie als Ergebnis ihrer Überlegungen gekommen sind. Dann sollen alle Gruppen ihre Kärtchen an die Tafel, an die richtige Stelle in der Skala kleben. Nun sollen die Gruppen nacheinander erklären, wie sie denn auf diese Zahl gekommen sind.

Falls keine Gruppe die richtige Lösung einbringt, also dass man das Maß der Erwartung mittels dem relativen Anteil bewertet, dann werde ich diesen Ansatz einbringen.
Das Ergebnis wird als eigenes Kärtchen mit dem größeren Kärtchen an der richtigen Stelle an der Skala auf der Tafel angebracht.
Nun sollen die Schüler die Tabelle und darunter die Ergebnisskala ins Heft übertragen.
Nebenbemerkung: Ergebnis- und großes Kärtchen im Anhang.

--> Form: Gruppenarbeit
--> Arbeitsmittel: Overhead, Urne
--> Begründung: Die Gruppenarbeit wird von mir hier gewählt, weil die Schüler stärker in die Erarbeitung des relativen Anteils miteingebunden werden.

Nun wird die rhetorische Frage gestellt: „Was bedeutet nun diese Zahl (in meinem Beispiel 9/17 0.529), die jetzt für das Ereignis steht ‚Ich ziehe einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie‘.?“
Ich werde nun ein paar mal hintereinander ziehen und das gezogene wie folgt auf die Tafel schreiben:

Ein-Kind-Familie Keine Ein-Kind-Familie ||||| ||||| ||| 13 ||||| ||||| 10

Meine Erklärung wird nun zirka wie folgt lauten: „Diese Zahl sagt dient also als Prognose und zwar in folgender Form: Wenn wir das Ziehen oft wiederholen, so tritt das Ereignis ‚Ich ziehe einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie‘ in cirka 52% der Fälle auf. Das natürlich nur, wenn ich immer wieder die gleiche Ausgangssituation habe – also bei jedem neuen Zug wieder alle Kärtchen in der Urne sind.“

--> Form: Lehrerzentriert.
--> Begründung: Die Bedeutung der Zahl können die Schüler noch nicht wissen, deshalb wird sie vom Lehrer erklärt.

Danach wird eine allgemeine Definition der Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil gegeben. Sie wird auf der Tafel und im Heft aufgeschrieben.

Nebenbemerkung:
* Allgemeine Definition: Wird unter allen Elementen einer Grundgesamtheit G, deren Größe bekannt ist, ein Element zufällig ausgewählt, so kann man als Maß für die Erwartung (Wahrscheinlichkeit), genau ein Element aus der Teilmenge A, deren Größe ebenfalls bekannt ist, zu bekommen, den relativen Anteil nehmen.
* Die Allgemeine Definition wird auf die Tafel geschrieben und die Schüler sollen sie in ihr Heft schreiben.
* Zur besseren Verständlichkeit wird noch einmal das vorige Beispiel herangezogen, um klarzumachen, was mit der Grundgesamtheit bzw. mit der Teilmenge gemeint ist.

Um das Bild des relativen Anteils zu festigen werden noch folgende WSen berechnet:
* Wie wahrscheinlich ist es einen Schüler zu ziehen, in dessen Familie mindestens zwei Kinder sind?
* Um wie viel ist es wahrscheinlicher einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie als mit einer Zwei-Kind-Familie zu ziehen?

Nebenbemerkung:
* Die Fragestellungen und die Ergebnisse werden auf der Tafel wieder mittels Kärtchen auf die Tafel geklebt (in der Skala) und im Heft aufgeschrieben.
* Auch die Frage – was das Ergebnis bedeutet – soll beantwortet werden.Ad Bsp1) Das Ergebnis in meinem Beispiel: 8/17 - 0,47.Zieht man oft aus der Urne so erhält man in rund 47% der Fälle das Ereignis ‚Ich ziehe eine Familie mit mindestens zwei Kindern.’Ad Bsp2) Das Ergebnis in meinem Beispiel: 0,18. Zieht man oft aus der Urne so erhält man rund 18% öfter das Ereignis ‚Ich ziehe eine Familie mit einem Kind.‘ 

--> Arbeitsmittel: Tafel
--> Begründung: Weitere Beispiele sind erforderlich um den relativen Anteil als Maß für die Erwartung und die Bedeutung des Ergebnisses zu festigen.

Ausblick: Im folgenden werden die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit erarbeitet.

Folgende beiden Beispiele sollen noch einmal die Grenzen (Null und Eins) der Wahrscheinlichkeit wiederholen bzw. verdeutlichen.
* Wie wahrscheinlich ist es einen Schüler zu ziehen mit mehr als einem Kind in der Familie?
* Wie wahrscheinlich ist es einen Schüler zu ziehen mit keinem Kind in der Familie?

Nebenbemerkung:
* Die Ergebnisse und die Fragestellungen werden auf der Tafel und im Heft aufgeschrieben. Ebenso wie den Merksatz, dass die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und 0 und 1 erreicht.
* Auf der Tafel werden wiederum Kärtchen verwendet, die in der Skala angebracht werden.

·Merksatz:0 P(E)  1

Als letzter Punkt wird der Begriff Gegenereignis in den Raum gestellt und anhand des folgenden Ereignisses erklärt:

Ereignis:  2KindFamilie und >2KindFamilie

Für das erste Ereignis wird die Wahrscheinlichkeit berechnet. Daraufhin wird die Frage gestellt, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für das zweite Ereignis ist, mit dem Hinweis vom Lehrer es nicht mittels dem relativen Anteil zu rechnen.
Ich werde einen Schüler / eine Schülerin, der / die aufgezeigt hat, antworten lassen, und natürlich auch begründen wie er / sie es gerechnet hat.

Nebenbemerkung:
* Auch dieses Ergebnis und die Eigenschaft des Gegenereignisses werden im Heft notiert. Wieder werden die Ereignisse und Ergebnisse auf Kärtchen in der Skala auf der Tafel aufgeklebt.
* Merksatz: Ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt, nennt man das sogenannte Gegenereignis  und es gilt:
W(E) + W( ) = 1bzw.W( ) = 1 – W(E)

--> Form: Klassendiskussion
--> Arbeitsmittel: Tafel
--> Begründung: Hier ist es für mich besonders wichtig die Schüler die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit entdecken zu lassen. Meiner Meinung nach führt es eher zu Unverständnis, wenn diese Regeln (Eigenschaften) einfach nur vorgesetzt werden.

 3. Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit

Als zweite, verschiedene Ausgangssituation werde ich dann die Frage aufwerfen: „Kann man den relativen Anteil als Maß für die Erwartung auch verwenden, wenn man über die Teilmenge nichts weiß. Also: ‚Kann man im vorhinein bewerten, wie viel Ausschuss eine Maschine produziert?’.“

Als Antwort erwarte ich mir cirka folgendes: „Da man weder die Größe der Grundgesamtheit, noch die Größe der Teilmenge (Ausschuss) kennt, kann man auch den relativen Anteil als Maß für die Erwartung nicht verwenden.“ Falls keine derartige Begründung erfolgt, werde ich diese einbringen.

Meine darauffolgende Frage wird sein, wie man nun die Wahrscheinlichkeit bewerten kann. Falls keine bzw. unreichende Antworten zurückkommen, werde ich den Begriff der Versuchsserie einbringen. Danach möchte ich in einer Diskussion mit den Schülern erarbeiten, wie diese Versuchsserie auszusehen hat, damit man sie verwenden kann. Unbedingt möchte ich auf folgende Begriffe hinarbeiten: Chancengleichheit, Unabhängigkeit und Zufälligkeit;

Nebenbemerkung: Was eine Versuchsserie ist und wie sie auszusehen hat, wird zuerst auf der Tafel, anschließend dann im Heft aufnotiert und zwar wie folgt: Wird aus einer beliebigen Anzahl von Elementen immer wieder zufällig gezogen und dabei aufnotiert wie viele zur untersuchenden Teilmenge gehören und wie viele nicht, so bezeichnet man dies als Versuchsserie. Zufällig bedeutet in diesem Zusammenhang, dass jedes Element die gleiche Chance hat ausgewählt zu werden.

--> Arbeitsmittel: Tafel
--> Form: Klassendiskussion
--> Begründung: Wieder verbindet eine gemeinsame Erarbeitung die Schüler viel mehr mit dem Ergebnis, als ein vorgesetztes.

Zur eigentlichen Erarbeitung der relativen Häufigkeit als Maß für die Erwartung werden die Schüler eine eigene Versuchsserie starten. Die Schüler werden von mir in Gruppen geteilt und sollen in diesen Reißnägel werfen. Dabei sollen sie mitnotieren wie viele der Reißnägel auf den Kopf und wie viele nicht auf den Kopf fallen. Nach jedem Wurf soll die aktuelle relative Häufigkeit berechnet werden.

Am Ende sollen die Gruppen ihre Ergebnisse präsentieren. Diese werden sich in gewissen Schranken ähnlich sein. Wieder wird die rhetorische Frage gestellt was nun diese Ergebnisse zu bedeuten haben. Auch hier muss die Erklärung der Ergebnisse durch den Lehrer erfolgen, da die Schüler dies ja noch nicht wissen können: Das Ergebnis kann als Prognose dafür dienen, wie groß das Verhältnis der auf den Kopf fallenden zu den gesamten Reißnägel in folgenden Versuchen ist. 

Es muss nun noch darauf hingewiesen werden, dass nur in einer langen geeigneten Versuchsserie der Wert der relativen Häufigkeit eine Prognose für das Verhältnis der Teilmenge zur Grundmenge ergibt.

Danach wird auf die Entwicklung der relativen Häufigkeit eingegangen – wobei vor allem das Einschwänken der relativen Häufigkeit auf eine feste Zahl betrachtet wird. 

Durch die verschiedenen Versuchsserien kann man dieses Verhalten der relativen Häufigkeit klar herausarbeiten. Klar wird durch die ständige Berechnung für die Schüler auch, dass es trotzdem immer noch Ausreißerwerte geben kann. (Schlechter Wurf)

Nun wird vom Lehrer gesagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses immer mit zunehmender Versuchsanzahl um einen festen Wert „stabilisiert“. Dieses Empirisches Gesetz der großen Zahlen soll nun aufgeschrieben werden.

--> Form: Gruppenarbeit
--> Begründung: Dieser Teil des Unterrichtsabschnittes drängt richtig darauf in einer Gruppenarbeit erforscht zu werden. Gleichzeitig lernen die Schüler die Begriffe Chancengleichheit, Unabhängigkeit und Zufälligkeit „spielerisch“ kennen.

Wieder wird die relative Häufigkeit allgemein formuliert und zwar wie folgt:
Für die relative Häufigkeit des Ereignisses E in einer Versuchsserie schreibt man h(E), mit, wobei k angibt, wie oft das Ereignis E unter den ersten n Versuchen aufgetreten ist.

Als Hausübungsbeispiel wird eine Aufzeichnung eines Vorarbeiters verwendet, der zufällig die Produkte seiner Maschine getestet hat.

Nebenbemerkung: Die Angabe erhalten die Schüler auf einem Zettel.

 

Funktioniert	48	49	43	47	44	48	47	46	42	47	49
Nicht funktionstüchtig	2	1	7	3	6	2	3	4	8	3	1
relative Häufigkeit	0	0	0,1	0,065	0,08	0,07	0,1	0,07	0,1	0,1	0,07
Funktioniert	46	48	43	45	47	49
Nicht funktionstüchtig	4	2	7	5	3	1
relative Häufigkeit	0,1	0,1	0,1	0,077	0,08	0,07

Fragestellung:
·1. Wie schaut die Entwicklung der relativen Häufigkeit aus? (letzte Spalte nicht in der Angabe). 
·2. Was bedeutet die relative Häufigkeit? Beantworte diese Frage allgemein und speziell auf dieses Beispiel bezogen.

4. Der Konnex zwischen beiden

Ausblick: Im folgenden wird der Konnex zwischen beiden Ansätzen gebracht und zwar mit Hilfe des Würfelbeispiels mit der Fragestellung: “Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ich einen Sechser erwarten?“. Denn dieses beinhaltet beide Ansätze.

Am Anfang dieses Unterrichtsabschnittes wird die Frage aufgeworfen: „ Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ich einen Sechser erwarten?“

Auf der einen Seite werde ich dann die Frage stellen, ob man den relativen Anteil als Maß für die Erwartung verwenden kann. Als Antwort erwarte ich mir natürlich auch eine Begründung.

Nebenbemerkung: Falls die Begründung nicht wirklich genau ist, werde ich die Begründung noch einmal auf die Tafel schreiben und die Schüler ins Heft schreiben lassen und zwar wie folgt: ‚Es gibt sechs Zahlen auf einem Würfel. Wenn man sich alle sechs Zahlen in einer Urne vorstellt, so kann man den relativen Anteil als Maß der Erwartung verwenden und er beträgt 1/6.’

Ist die Begründung richtig wird sie ebenfalls als Festigung auf der Tafel und im Heft aufnotiert.

Danach wird noch einmal wiederholt was dieses Ergebnis bedeutet – das es also eine Prognose ist. Auf der anderen Seite möchte ich dann die „provokante“ Frage stellen, ob man, wenn man die relative Häufigkeit ‚des Auftretens eines Sechsers’ in einer langen Versuchsserie betrachtet auf das gleiche Ergebnis kommt.Also, ob man bei einer Überprüfung mittels einer Versuchsserie das gleiche Ergebnis erhält.

Nebenbemerkung: Falls keiner der Schüler den Standpunkt einnimmt, dass die Versuchsserie einen anderen Wert ergibt, so werde ich die Versuchsserien von Herrn Kröpfl einbringen.

--> Form: Klassendiskussion
--> Begründung: Besonders an dieser Stelle ist es nicht unwesentlich verschiedene Positionen zu haben. Denn an dieser Stelle teste ich aufgrund von Unsicherheit – ergibt es einen ähnlichen Wert oder nicht – die Vorhersage.

Die Antwort auf diese Frage soll wiederum eine Versuchsserie liefern, welche die Schüler durchführen, dabei wird ein Drittel der Gruppen Plastikwürfel mit Farbklecksen, ein Drittel Holzwürfel mit Einkerbung und das letzte Drittel der Gruppen Softwürfel verwenden.

Das Ergebnis wird sicher zu einer „heißen“ Diskussion führen.

--> Form: Gruppenarbeit, Klassendiskussion
--> Begründung: In keiner anderen Form kann man, meiner Meinung nach, den zentralen Punkt des Konnexes besser herausarbeiten, als durch eine Selbsterarbeitung durch die Schüler.

Am Schluss soll den Schülern verdeutlicht werden, dass es viel einfacher ist mit dem relativen Anteil als Maß zu arbeiten, als mit der relativen Häufigkeit in einer langen Versuchsserie, denn diese ist ja viel aufwendiger – ABER dass es nur wenige Situationen gibt, bei denen man schon vorher etwas bestimmen kann.

 Fragebogen Ausarbeitung

1.)Wie haben dir die Gruppenarbeiten generell gefallen?
 

Gut ||||| ||| Man denkt besser mit || Langsam | Gute Abwechslung ||||| | Jeder Lehrer macht das schon | Produktiv | Originell ||

Lehrreich | Kindisch | Habe mehr verstanden || Kein math. Wissen vermittelt | Versch. Leute | Interessant |

2.)Im Unterricht kamen 4 Gruppenarbeiten vor –
1 die Gruppenarbeit, in der ihr Kärtchen in einer Skala angeordnet habt,
2 die Gruppenarbeit, in der ihr über das mathematische Ergebnis von ‚Ich ziehe einen Schüler mit einer Ein-Kind-Familie‘ nachgedacht habt,
3 die Gruppenarbeit, in der ihr Reißnägel geworfen habt,
4 und die Gruppenarbeit mit den Würfeln.

Bitte beschreibe die Gruppenarbeit, die dir am besten gefallen hat und die dir am wenigsten gefallen hat und begründe deine Wahl.

• Es waren alle lustig und trugen zum Verständnis bei.
• Es waren alle interessant und gut überlegt.
• 3,4 waren am besten, die anderen waren auch nicht schlecht;

1 ·Langweilig |||  ·Sinn nicht klar ||||  ·Nicht mein Geschmack |  ·Gehört eher zu Deutsch |  ·Gut |  ·Man kam auf keinen Nenner |

2 ·Nicht mein Geschmack |  ·pos., logisch |  ·pos., realistisch |

3 ·pos., weil alle beteiligt |  ·pos., weil es Spaß macht ||  ·pos., denn man kam selbst zum Zug |  ·neg., denn nicht verständlich |  ·Idiotenarbeit |  ·Zählerei deppert |  ·Sinn kam gut heraus |  ·pos., weil einmal platz verlassen |  ·einfach ||

4 ·pos., weil man sehen konnte was dabei herauskam |  ·pos., denn man kommt selbst zum Zug |  ·Erkenntnis |||  ·Interessant |  ·Selbstherausfinden |

3.)Was hat dir im Unterricht gefehlt?

• Nichts ||||| ||
• In meinem Dialekt (positiv) |
• Weiß nicht |||
• Nicht erklärt, wie man Aufgabe ohne Versuchsserie löst |
• Stress |
• TI92 – Scherz |
• Zu langsam |
• Übermittlung math. Wissens |
• Meldungen von Herrn Wernig (eher froh) |

4.)Wie beurteilst du den Unterricht generell?

F interessant||||| ||||| |

F langweilig

F kompliziert

F zu schnell||

F humorvoll||||| |||||

F belehrend|||

F aufschlussreich||||| ||||| |

F trocken

 Resümee

Zuerst muss ich anmerken, dass mich dieses Schulpraktikum in meiner Absicht Lehrer zu werden noch mehr bestärkt hat. Vor allem die positive Atmosphäre in der Schule, aber auch die Hilfsbereitschaft des Betreuungslehrers in der Schule und des Betreuungslehrers an der Universität waren sehr wertvoll für mich.

Schon die Einführungsphase bat mir sehr viele Einblicke in den Lehreralltag und kleinere Unterrichtsauftritte in der Übungsphase brachten mir die Eigenheiten der Klasse näher. Trotzdem und obwohl ich mich gut vorbereitet hatte, war ich sehr nervös vor meiner ersten Unterrichtsstunde. Diese anfängliche Nervosität legte sich jedoch. Im Verlauf des Unterrichts begann ich immer mehr mit der Klasse zu arbeiten.

Zu Ende des Praktikums hatte ich mich so an meinen, neuen, liebgewonnen Alltag gewöhnt, dass es mir richtig leid tat, die Schulklasse wieder mit dem Hörsaal zu tauschen.

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